Уравнение Риккати
Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
- [math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = a(t)x^2 + b(t)x + c(t). \quad (*) }[/math]
Уравнением Риккати называют также многомерный аналог [math]\displaystyle{ (*) }[/math], то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n, }[/math] правые части которых являются многочленами второй степени от переменных [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math] с зависящими от [math]\displaystyle{ t }[/math] коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии[1], теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем[2], вариационном исчислении[3], теории конформных отображений, квантовой теории поля[4].
История
Частный случай такого уравнения:
- [math]\displaystyle{ b\frac{dx}{dt} = x^2 + at^{\alpha}, \quad (**) }[/math]
где [math]\displaystyle{ \alpha,\, a,\, b }[/math] — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший)[5][6][7]. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: [math]\displaystyle{ \alpha = {4n}/{(1-2n)}, \ n \in \mathbb{N}, }[/math] или [math]\displaystyle{ \alpha=-2. }[/math] Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] решение уравнения [math]\displaystyle{ (**) }[/math] нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.
Уравнение вида [math]\displaystyle{ (*) }[/math] часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида [math]\displaystyle{ (**) }[/math] — специальным уравнением Риккати.
Свойства
- Уравнение Риккати в случае [math]\displaystyle{ a(t)=0 }[/math] является линейным и интегрируется в квадратурах.
- Уравнение Риккати в случае [math]\displaystyle{ c(t)=0 }[/math] является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены [math]\displaystyle{ y=1/x. }[/math]
- Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати.
- Если [math]\displaystyle{ x_1(t), \ldots, x_4(t) }[/math] — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям [math]\displaystyle{ c_1, \ldots, c_4 }[/math] постоянной интегрирования, то имеет место тождество
- [math]\displaystyle{ \frac{x_3(t)-x_1(t)}{x_3(t)-x_2(t)} : \frac{x_4(t)-x_1(t)}{x_4(t)-x_2(t)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}. \quad (***) }[/math]
- Левая часть тождества [math]\displaystyle{ (***) }[/math] — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле [math]\displaystyle{ (***) }[/math].
Применения
- В римановой геометрии уравнению Риккати
- [math]\displaystyle{ S'(V)+S^2(V)+R(V,T)T=0 }[/math]
- удовлетворяют операторы формы для эквидистанционных поверхностей вдоль перпендикулярной к ним геодезической с касательным полем [math]\displaystyle{ T }[/math]. Как и уравнение Якоби, это уравнение применяется при исследовании геодезических.
Вариации и обобщения
Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение
- [math]\displaystyle{ \frac{dX}{dt} = XA(t)X + B_1(t)X + XB_2(t) + C(t) }[/math]
относительно неизвестной квадратной матрицы [math]\displaystyle{ X=(x_{ij}) }[/math] порядка [math]\displaystyle{ n }[/math], в котором [math]\displaystyle{ A,B_1,B_2,C }[/math] — заданные квадратные матрицы порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] с зависящими от переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] коэффициентами.
В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида
- [math]\displaystyle{ \frac{dW}{dt} = (R(t)+W) \cdot P^{-1}(t)\cdot (R^*(t)+W) - Q(t) }[/math]
относительно неизвестной квадратной матрицы [math]\displaystyle{ W=(w_{ij}) }[/math] порядка [math]\displaystyle{ n }[/math], в котором [math]\displaystyle{ P,Q,R }[/math] — заданные квадратные матрицы порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] с зависящими от переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] коэффициентами, причем [math]\displaystyle{ \det P\neq 0, }[/math] звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала
- [math]\displaystyle{ J=\int f(t,x,\dot x) \,dt, \quad x = (x_1, \ldots, x_n), }[/math]
в стационарной точке [math]\displaystyle{ \widehat x(\cdot). }[/math] При этом матрицы
- [math]\displaystyle{ P(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial \dot x_i \partial \dot x_j}\Bigr) \Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \, Q(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \, R(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial \dot x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}. }[/math]
Литература
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
- Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
Ссылки
Примечания
- ↑ Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
- ↑ Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.
- ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- ↑ Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
- ↑ Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
- ↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901. (недоступная ссылка)
- ↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.
Для улучшения этой статьи желательно: |